ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ecuaciones Trigonométricas 

• Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la cual intervienen funciones trigonométricas de un ángulo X y se satisface solo para algunos valores de X.
• Las soluciones de una ecuación trigonométrica son los valores del ángulo para los que se cumplen la igualdad. Resolver una ecuación trigonométrica es determinar todos los valores posibles de las variables para los cuales se cumple la igualdad.
• Algunos aspectos que se deben tener en cuenta para resolver una ecuaciones trigonométricas son: 

1. los procedimientos son similares a las utilizadas en la solución de ecuaciones algebraicas 
2. estas tienen infinitas soluciones, debido a que las funciones son periódicas y su solución se puede expresar en ángulos o en radianes. 
3. en algunas ecuaciones se indica a cual intervalo deben pertenecer las soluciones.

Clasificación 

Nota: cuando en los intervalos se refieren a [ ] significa que son cerrados y que se incluyen 

                                                                               ( ) significa que están abiertos y que no incluyen 

Ecuaciones lineales 

• Se resuelven despejando la función trigonométrica hasta obtener una expresión de la forma f(X)=k se utiliza el concepto de función inversa para determinar los posibles valores de (X), siempre teniendo en cuenta el signo de la función y el intervalo en que deben estar las soluciones.  

Ejemplo:

A)  cos X= 1/2, en el intervalo [0,2π]

 Utilizamos la función inversa cos^(-1)  1/2 = X
                                                             X=   cos^(-1)  1/2
                                                             X= 60°
Luego buscamos las soluciones  X=60°, X=300° y en radianes seria X=π/3

B) 3 tan 2X= √3, en el intervalo [0,π/2]
      tan 2X= √3/3
     2X= tan^(-1) (√3/3)
       2X=30°
       X=30/2 = 15°
       X=210/2 = 105° 

Ecuaciones cuadráticas 

• Se pueden resolver utilizando la factorización siempre que sea posible. También se puede resolver expresando la función de la forma Y^(2)=K donde Y es una función trigonométrica y K es la constante.
• Si se utiliza la factorización conviene aplicar la siguiente propiedad                                         * Si X*Y=0, entonces X=0  0  Y=0 

Ejemplo: 

A) cos^(2)X=1, en el intervalo [0,2π)

     (cos X +1) * (cos X -1)= 0 

     cos x +1 = 0             cos X -1=0 

    X=cos^(-1) (1)         X= cos^(-1) (1) 

    X=180                       X = 0 

B) sen^(2) X + 5 sen X + 6 =0, en el intervalo [0,π/1)

     sen^(2) X + 5 sen X + 6 

     sen X                              3

     sen X                              2

(sen X + 3 ) * (sen X + 2) 

sen X = 0                 sen X + 2 = 0

X= sen ^(-3)           X= sen^(-1) (-2) 

X=                             X =

  Este problema no posee solución, pues la función solo toma valor en el intervalo [-1,1].