ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ecuaciones Trigonométricas 

• Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la cual intervienen funciones trigonométricas de un ángulo X y se satisface solo para algunos valores de X.
• Las soluciones de una ecuación trigonométrica son los valores del ángulo para los que se cumplen la igualdad. Resolver una ecuación trigonométrica es determinar todos los valores posibles de las variables para los cuales se cumple la igualdad.
• Algunos aspectos que se deben tener en cuenta para resolver una ecuaciones trigonométricas son: 

1. los procedimientos son similares a las utilizadas en la solución de ecuaciones algebraicas 
2. estas tienen infinitas soluciones, debido a que las funciones son periódicas y su solución se puede expresar en ángulos o en radianes. 
3. en algunas ecuaciones se indica a cual intervalo deben pertenecer las soluciones.

Clasificación 

Nota: cuando en los intervalos se refieren a [ ] significa que son cerrados y que se incluyen 

                                                                               ( ) significa que están abiertos y que no incluyen 

Ecuaciones lineales 

• Se resuelven despejando la función trigonométrica hasta obtener una expresión de la forma f(X)=k se utiliza el concepto de función inversa para determinar los posibles valores de (X), siempre teniendo en cuenta el signo de la función y el intervalo en que deben estar las soluciones.  

Ejemplo:

A)  cos X= 1/2, en el intervalo [0,2π]

 Utilizamos la función inversa cos^(-1)  1/2 = X
                                                             X=   cos^(-1)  1/2
                                                             X= 60°
Luego buscamos las soluciones  X=60°, X=300° y en radianes seria X=π/3

B) 3 tan 2X= √3, en el intervalo [0,π/2]
      tan 2X= √3/3
     2X= tan^(-1) (√3/3)
       2X=30°
       X=30/2 = 15°
       X=210/2 = 105° 

Ecuaciones cuadráticas 

• Se pueden resolver utilizando la factorización siempre que sea posible. También se puede resolver expresando la función de la forma Y^(2)=K donde Y es una función trigonométrica y K es la constante.
• Si se utiliza la factorización conviene aplicar la siguiente propiedad                                         * Si X*Y=0, entonces X=0  0  Y=0 

Ejemplo: 

A) cos^(2)X=1, en el intervalo [0,2π)

     (cos X +1) * (cos X -1)= 0 

     cos x +1 = 0             cos X -1=0 

    X=cos^(-1) (1)         X= cos^(-1) (1) 

    X=180                       X = 0 

B) sen^(2) X + 5 sen X + 6 =0, en el intervalo [0,π/1)

     sen^(2) X + 5 sen X + 6 

     sen X                              3

     sen X                              2

(sen X + 3 ) * (sen X + 2) 

sen X = 0                 sen X + 2 = 0

X= sen ^(-3)           X= sen^(-1) (-2) 

X=                             X =

  Este problema no posee solución, pues la función solo toma valor en el intervalo [-1,1].

Identidades de Angulos dobles

Angulos Dobles

Razones trigonométricas del ángulo doble. Sea α un ángulo. Las razones trigonométricas del ángulo doble (2α) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas del ángulo α.
Formulas

                                       
ejemplo

Ángulos medios

ángulos medios 

Concepto: Las razones trigonométricas del ángulo mitad (α/2) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas de α. En particular, del coseno de α.

Fórmulas:

Ejemplos 

 A continuación un video explicando el problemas de ángulos medios:

Números imaginarios y complejos

 Números imaginarios

Concepto: Los Números Imaginarios son números complejos sin parte real. Son por lo tanto números múltiplos de i. Dicho número i llamado también identidad imaginaria es el resultado de la raíz cuadrada negativa. 

Son por lo tanto ejemplos de números imaginarios:

• i
• -i
• 5i
• 2,5i
• -8i
• A continuación se muestra un video explicando los números imaginarios 

 Números complejos 

Concepto: Los Números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152).

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Una identidad trigonométrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonométricas y es válida en el dominio común o descartando los puntos que anulan alguna función en caso de ser divisor. Son ligadas las funciones por operaciones racionales, potencias de exponente entero. En las fórmulas aún se acude a raíz cuadrada. Los ángulos se suman algebraicamente, se multiplican o se dividen por enteros positivos y luego actúan como argumento de alguna función.

Mapa Conceptual de Identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas 

Introducción

1. Definiciones de las funciones trigonométricas: coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente.
2. Tabla de valores del seno, coseno y tangente de los ángulos usados más frecuentemente.
3. Demostraciones de las identidades trigonométricas fundamentales: identidad fundamental, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, seno, coseno y tangente de la suma de ángulos, del ángulo doble, del ángulo mitad, entre otros.

Mapa Conceptual 
https://www.mindomo.com/mindmap/9286f7f378a94409b38bd28247cec70f

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica,
 telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras de muchas aplicaciones.

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: ${\displaystyle \alpha }$, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

• La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
• El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo${\displaystyle \alpha }$ .
• El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo ${\displaystyle \alpha }$.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

${\displaystyle \operatorname {sen} \alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}={\frac {a}{h}}}$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo ${\displaystyle \alpha }$ , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}{\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}}={\frac {b}{h}}}$

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}={\frac {a}{b}}}$

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}{\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}}={\frac {b}{a}}}$

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}{\color {Blue}{\textrm {adyacente}}}}={\frac {h}{b}}}$

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {\color {Red}{\textrm {hipotenusa}}}{\color {ForestGreen}{\textrm {opuesto}}}}={\frac {h}{a}}}$

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Identidades de ángulos compuestos :

 Como su nombre lo indica, es una tabla donde se exponen los valores de senos, cosenos y tangentes de los ángulos notables (desde 0° a 360°). Con ella podemos realizar cálculos en trigonometría sin necesidad de utilizar una calculadora.

I. Identidades para la suma y resta de ángulos compuestos:

• La razones trigonométricas de ángulos compuestos, son aquellos que se forman de la suma o diferencia de dos ángulos. 

A continuación veremos un vídeo explicando paso a paso las identidades de ángulos compuestos de la suma y resta de estos determinando su valor exacto: